Probabilité et Corrélation avec loi normale

Bonjour,

Soit n distributions de notes scolaires suivant toutes un loi normale de même moyenne (m) et de même écart-type (e). Ces n distributions sont toutes corrélées entre elles deux à deux avec un même coefficient de détermination r2.

Tous les élèves passent les n épreuves. S'ils obtiennent une note (ou plus) inférieure à k, ils seront sanctionnés.

Comment déterminer le % des élèves sanctionnés ? Si r2 est nul, c'est facile, mais comment faire si r2 est positif ?

Merci d'avance pour votre aide.

Intuitivement, je trouve cette solution, qui semble juste (d'après simulations avec Excel), mais je ne sais pas la démontrer :

Soit p la proportion des élèves qui obtiennent une note égale ou inférieure à k dans une matière quelconque (densité de probabilité facile à calculer)

Je cherche donc S, la proportion d'élèves sanctionnés. Elle sera égal à 1 - le pourcentage d'élèves qui ont toujours plus de k.

S = 1-(r2(1-p)+(1-r2)(1-p)^n)